1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ の解説

Paragraph 1

英文

In mathematics, 1 − 2 + 3 − 4 + ··· is an infinite series whose terms are the successive positive integers, given alternating signs. Using sigma summation notation the sum of the first m terms of the series can be expressed as ${\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}.}$

日本語訳

数学において、1 − 2 + 3 − 4 + ··· は、連続する正の整数に交互に符号を付けた項からなる無限級数です。シグマ総和記法を用いると、この級数の最初の m 項の和は次のように表すことができます。 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}.}$

要約 (Summary)

「1 − 2 + 3 − 4 + ...」という数列は、正の整数が交互にプラスとマイナスになる無限級数であることを定義しています。

固有名詞・背景 (Proper Nouns & Background)

• Sigma summation notation: シグマ総和記法（Σ記法）。数列の和を簡潔に表すための数学記号。

単語 (Vocabulary)

• infinite series: {名詞} 無限級数
• successive: {形容詞} 連続する、相次ぐ
• alternating: {形容詞} 交互の

熟語 (Phrasal Verbs / Compounds)

• positive integers: {名詞} 正の整数（自然数）

Paragraph 2

英文

The infinite series diverges, meaning that its sequence of partial sums, (1, −1, 2, −2, 3, ...), does not tend towards any finite limit. Nonetheless, in the mid-18th century, Leonhard Euler wrote what he admitted to be a paradoxical equation: ${\displaystyle 1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.}$

日本語訳

この無限級数は発散します。つまり、その部分和の列（1, -1, 2, -2, 3, ...）は、いかなる有限の極限値にも収束しません。それにもかかわらず、18世紀半ばにレオンハルト・オイラーは、彼自身も逆説的であると認めた次のような等式を書き残しました。 ${\displaystyle 1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.}$

要約 (Summary)

通常この級数は発散して値を持たないはずですが、オイラーはこれを「1/4」とするパラドキシカルな式を示しました。

固有名詞・背景 (Proper Nouns & Background)

• Leonhard Euler: レオンハルト・オイラー。18世紀の数学者・物理学者。数学界の巨匠。

単語 (Vocabulary)

• diverge: {動詞} 発散する（数学用語）。収束しないこと。
• partial sum: {名詞} 部分和
• limit: {名詞} 極限（値）

コロケーション (Collocations)

• tend towards: ～に向かう、～の傾向がある

Paragraph 3

英文

A rigorous explanation of this equation would not arrive until much later. Starting in 1890, Ernesto Cesàro, Émile Borel and others investigated well-defined methods to assign generalized sums to divergent series—including new interpretations of Euler's attempts. Many of these summability methods easily assign to 1 − 2 + 3 − 4 + ... a "value" of ⁠1/4⁠. Cesàro summation is one of the few methods that do not sum 1 − 2 + 3 − 4 + ..., so the series is an example where a slightly stronger method, such as Abel summation, is required.

日本語訳

この等式に対する厳密な説明がなされるまでには、長い時間を要しました。1890年以降、エルネスト・チェザロやエミール・ボレルらが、発散級数に一般化された和を割り当てるための明確に定義された手法を研究し、オイラーの試みに対する新たな解釈をもたらしました。これらの総和法の多くは、1 − 2 + 3 − 4 + ... に対して容易に「1/4」という値を割り当てます。「チェザロ総和法」はこの級数の和を求められない数少ない手法の一つであるため、この級数は「アーベル総和法」のような、より強力な手法が必要となる例となっています。

要約 (Summary)

後にチェザロやボレルらが発散級数の総和法を確立し、この級数の値が1/4となる正当性が説明されましたが、チェザロ総和法では扱えず、より強力なアーベル総和法が必要となります。

固有名詞・背景 (Proper Nouns & Background)

• Ernesto Cesàro: エルネスト・チェザロ。イタリアの数学者。チェザロ総和法で知られる。
• Émile Borel: エミール・ボレル。フランスの数学者。ボレル測度やボレル総和法で知られる。
• Abel summation: アーベル総和法。発散級数に値を定義する手法の一つ。

単語 (Vocabulary)

• rigorous: {形容詞} 厳密な、厳格な
• summability: {名詞} 総和可能性

文法・構文 (Grammar & Syntax)

• assign ... to ...: ～を…に割り当てる。ここでは値を級数に割り当てるという意味。

Paragraph 4

英文

The series 1 − 2 + 3 − 4 + ... is closely related to Grandi's series 1 − 1 + 1 − 1 + .... Euler treated these two as special cases of the more general sequence 1 − 2n + 3n − 4n + ..., where n = 1 and n = 0 respectively. This line of research extended his work on the Basel problem and leading towards the functional equations of what are now known as the Dirichlet eta function and the Riemann zeta function.

日本語訳

この級数 1 − 2 + 3 − 4 + ... は、「グランディ級数」（1 − 1 + 1 − 1 + ...）と密接に関連しています。オイラーはこれら2つを、より一般的な数列 1 − 2n + 3n − 4n + ... の特殊なケース（それぞれ n = 1 と n = 0 の場合）として扱いました。この研究の流れは、彼の「バーゼル問題」に関する研究を拡張するものであり、現在「ディリクレのイータ関数」や「リーマンゼータ関数」として知られるものの関数等式へとつながっていきました。 (注: 原文の数式表記にある n は、指数としての意味合いが強い文脈ですが、引用文の表記に従い訳出しています。通常は $1 - 2^s + 3^s - ...$ のような形式で議論されます)

要約 (Summary)

この級数はグランディ級数と関連があり、オイラーの研究を経て、現代数学の重要な関数であるディリクレのイータ関数やリーマンゼータ関数へとつながっています。

固有名詞・背景 (Proper Nouns & Background)

• Grandi's series: グランディ級数 (1 - 1 + 1 - 1 ...)。
• Basel problem: バーゼル問題。平方数の逆数の和を求める問題。
• Dirichlet eta function: ディリクレのイータ関数。
• Riemann zeta function: リーマンゼータ関数。素数分布と深く関わる関数。

単語 (Vocabulary)

• respectively: {副詞} それぞれ